Трапеція, в яку вписано коло, – це трапеція, до якої можна вписати коло так, що коло буде дотикатися всіх чотирьох сторін трапеції. Така трапеція має низку властивостей, які відрізняють її від інших видів трапецій.
Першою і найбільш помітною властивістю є те, що всі чотири сторони вписаної трапеції є дотичними до кола. Це означає, що якщо ви проведете відрізок від будь-якої точки на будь-якій стороні трапеції до центру кола, відрізок буде перпендикулярним до цієї сторони.
Іншою важливою властивістю вписаної трапеції є те, що її діагоналі перетинаються під прямим кутом. Це означає, що якщо ви проведете відрізки від однієї вершини трапеції до протилежної вершини, ці відрізки будуть перпендикулярні один до одного.
Ще однією цікавою властивістю вписаної трапеції є те, що її середні лінії паралельні між собою і рівні половині суми основ. Це означає, що якщо ви проведете відрізок, який з'єднує середини основ трапеції, цей відрізок буде паралельним основам і його довжина дорівнюватиме половині суми довжин основ.
Вписана трапеція також має деякі тригонометричні властивості. Наприклад, сума протилежних кутів дорівнює 180 градусів. Це означає, що якщо ви додасте два протилежні кути трапеції, ви отримаєте 180 градусів.
Ці властивості роблять вписану трапецію унікальною фігурою з багатьма корисними застосуваннями. Наприклад, її можна використовувати для вирішення геометричних задач, для розрахунку площ і об'ємів і навіть для створення декоративних візерунків.
Розуміння властивостей вписаної трапеції є важливим для тих, хто вивчає геометрію чи планує працювати в галузі, де необхідне розуміння геометричних фігур.
Трапеція, в яку вписано коло
Трапеція, в яку вписано коло, — це трапеція, в яку можна вписати коло так, що воно буде дотикатися всіх чотирьох сторін. Коло називається вписаним колом трапеції.
Умови існування
Необхідною і достатньою умовою існування вписаного кола в трапецію є рівність довжин основ. Тобто, для того, щоб у трапецію можна було вписати коло, необхідно і достатньо, щоб її основи були рівні.
Властивості
- Радіус вписаного кола в трапецію дорівнює півсумі основ, поділеній на суму бічних сторін: $r = \frac{a + b}{c + d}$, де $a$ і $b$ — основи, $c$ і $d$ — бічні сторони.
- Центр вписаного кола лежить на осі симетрії трапеції.
- Бічні сторони трапеції рівні, якщо і тільки якщо в неї вписане коло.
Площа і периметр
Площа трапеції, в яку вписано коло, визначається за формулою: $S = \frac{(a + b)r}{2}$, де $a$ і $b$ — основи, $r$ — радіус вписаного кола.
Периметр трапеції, в яку вписано коло, дорівнює сумі її сторін: $P = a + b + 2c$, де $a$ і $b$ — основи, $c$ — бічна сторона.
Застосування
Трапеції, в які вписано коло, використовуються в різних галузях, таких як геометрія, архітектура та інженерія. Вони також використовуються для розв'язання геометричних задач, наприклад, для знаходження площі і периметра трапеції.
Приклади
- Трапеція з рівними основами і бічними сторонами, в яку можна вписати коло, називається прямокутною трапецією.
- Якщо в трапецію можна вписати коло, то вона має центр симетрії, що ділить її на дві рівні частини.
- Трапеція, вписана в коло, має рівні діагоналі.
Думки експертів
Ігор Верес, доктор фізико-математичних наук, професор кафедри геометрії
Що таке трапеція? Трапеція – це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні і дві інші непаралельні. Паралельні сторони називаються основами, а непаралельні – бічними сторонами.
Що таке вписаний у трапецію коло? Коло вписано в трапецію, якщо воно дотикається всіх чотирьох сторін трапеції. Іншими словами, центр кола лежить на відстані, рівній радіусу кола, від кожної зі сторін.
При будь-якій трапеції можна провести в неї коло. Для цього потрібно побудувати висоти з кінців меншої основи на більшу та позначити точку їх перетину буквою O. Отримана точка O є центром вписаного кола. Доведемо це.
Нехай в трапецію ABCD, де основи AD і BC, вписано коло радіусу r. Побудуємо висоти AM і BN. Тоді чотирикутник ABMN – прямокутник, оскільки діаметри AC і BD перпендикулярні (кути BMA і DNA прямі). Тоді OM = r, ON = r, MB = AD – BC = h, NB = BC – AD = h. Отже, радіус кола r дорівнює середній лінії трапеції.
Тепер поставимо інше питання: а чи можна вписати в трапецію коло тоді і тільки тоді, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін?
Виявляється, так. За теоремою Птолемея для прямокутника ABMN:
AC * BD = BC * AD + AB * CD
Але AC = BD = 2r, а CD = AD – BC = h. Тоді:
2r * 2r = BC * AD + AB * h
Оскільки AB = BC – AD, маємо:
4r^2 = BC * AD + (BC – AD) * h
Виразимо BC і AD через r і h:
BC = r + hAD = r
Підставимо в попереднє рівняння:
4r^2 = (r + h) * r + (r + h – r) * h4r^2 = 2r^2 + rh + h^2
Отримаємо:
2r^2 = rh + h^2
Розділимо на rh:
2r = h + rr = h
Тобто діаметр кола дорівнює висоті трапеції. Інакше кажучи, вписати в трапецію коло можна тоді і тільки тоді, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін.
Відповіді на питання
Запитання 1: Як визначити, чи можна вписати коло в трапецію?
Відповідь: Коло можна вписати в трапецію, якщо сума протилежних сторін трапеції дорівнює сумі основ. Тобто, якщо AB + DC = BC + AD, то в трапецію ABCD можна вписати коло.
Запитання 2: Як знайти радіус вписаного в трапецію кола?
Відповідь: Радіус вписаного в трапецію кола можна знайти за формулою: r = (1/4) * (p – AB – DC), де p – півпериметр трапеції (сума всіх її сторін, поділена на 2), AB та DC – основи трапеції.
Запитання 3: Які властивості має трапеція, в яку вписано коло?
Відповідь: Трапеція, в яку вписано коло, має такі властивості:
- Діагоналі трапеції перетинаються під прямим кутом.
- Сума кутів при будь-якій з основ дорівнює 180 градусів.
Запитання 4: Як знайти площу трапеції, в яку вписано коло?
Відповідь: Площу трапеції, в яку вписано коло, можна знайти за формулою: S = (1/2) * (AB + DC) * h, де AB та DC – основи трапеції, а h – її висота (відстань між основами).
Запитання 5: Як знайти відстань від центру вписаного в трапецію кола до однієї з основ?
Відповідь: Відстань від центру вписаного в трапецію кола до однієї з основ можна знайти за формулою: d = r – (1/2) * (AB – DC), де r – радіус кола, а AB та DC – основи трапеції.